Plan d’expériences

Introduction

Les plans d’expériences (en anglais, design of experiments ou DOE) se constituent d’une série d’expérimentations ou essais organisées, permettant d’acquérir de nouvelles connaissances en s’appuyant uniquement sur des résultats expérimentaux. Ainsi on modélise les relations entre les paramètres d’entrée (variables ou facteurs) du système étudié, et une (ou plusieurs) grandeur(s) de sortie, aussi appelée réponse. Le modèle mettant en œuvre une réponse \(y\) et des variables ou facteurs \(x_i\) peut se présenter sous une forme générique :

\[y=f(x_1, x_2,x_3, ... , x_k)\]

Les plans d’expériences sont utilisés dans de très nombreux domaines, ils peuvent par exemple :

• permettre de hiérarchiser l’influence de paramètres sur un processus industriel,

• optimiser la performance d’un produit à partir de prototypes,

• modéliser un phénomène physique complexe d’un matériau,

• ou encore optimiser les performances d’un mélange chimique …

SOSstat offre des fonctionnalités intuitives et simples pour la conception d’essais et l’analyse des résultats d’un plan d’expériences. Outre une bibliothèque complète de plans d’expériences classiques testés et éprouvés, SOSstat propose une fonction innovante de création de plans sur mesure qui permet d’adapter la conception des plans d’expériences aux contraintes expérimentales, tout en minimisant le nombre d’essais. Une fois les données collectées, SOSstat fournit une analyse simple et précise du modèle (avec de nombreux graphiques), les fonctions de prédiction, permettent ensuite de trouver les configurations qui répondent le mieux à notre problème.

Avant toute chose, il est important de noter, que la modélisation d’un système ne peut se faire en réalisant des essais sans stratégie préalable. En effet, l’organisation des essais a une influence déterminante sur la qualité du modèle, et donc des optimisations qui en découlent. Cette propriété n’étant pas intuitive, il est important de suivre la méthodologie des plans d’expériences pour garantir la qualité des résultats.

Voici quelques avantages de la méthodologie des plans d’expériences :

• Définir le nombre d’expériences nécessaires à l’avance (aide à la planification)

• Proposer une méthode d’analyse simple et systématique

• Construire un modèle permettant de prédire les réponses dans tout le domaine d’expérimentation

• Maximiser la précision des résultats (pour un nombre d’expériences donné)

• Réduire le nombre d’essais (sous certaines conditions)

Des plans d’expériences adaptés à chaque problématique

Au fil des années, les plans d’expériences se sont enrichis, de très nombreux outils pour répondre à une grande diversité de problématiques. Nous tenterons dans cette section, de faire un tour d’horizon des principales techniques expérimentales.

Différentes techniques de plans d’expériences disponibles dans SOSstat

Les plans Factoriels sont les plans les plus anciens. Ils permettent à la fois d’exploiter des variables continues ou catégorielles. Les modèles étudiés sont des modèles linéaires avec ou sans interaction. Les plans factoriels peuvent être utilisés dans deux situations :

• Faire du criblage, c’est-à-dire hiérarchiser l’influence d’un grand nombre des facteurs

• Modéliser un système afin de l’optimiser

Pour répondre à ces objectifs, on pourra exploiter plusieurs techniques :

• Les plans factoriels complets (qui exploitent toutes les combinaisons de facteurs du plan d’expériences)

• Les plans de criblage de Plackett et Burman. Ces plans fractionnaires traitent de préférence des facteurs à deux niveaux, ils se limitent à la quantificvation des effets et ils font abstraction des interactions. Le nombre d’expériences à la particularité d’augmenter assez lentement en fonction du nombre de facteurs, puisque c’est un multiple de 4.

• Les plans factoriels fractionnaires, qui peuvent selon les cas, faire du criblage ou de la modélisation. Ces plans sont généralement appréciés des expérimentateurs, car ils limitent drastiquement le nombre d’essais.

Lorsque les variables d’entrée sont continues et que le modèle comporte un optimum local, il est préférable d’opter pour un modèle du second degré. C’est dans ce contexte que les plans de surface développent toute leur puissance. Ils permettent en effet d’optimiser un système en modélisant sa surface de réponse complexe. Les plans de surface les plus connus sont :

• les plans composites centrés, sont appréciés pour leur mise en œuvre séquentielle et leur aptitude à répondre à plusieurs critères d’optimalité (isovariance par rotation et presque-orthogonalité).

• les plans de Box-Behnken, fournissent un modèle de qualité raisonnable et économique, tout en limitant le nombre de modalité des facteurs à 3.

• Il faut aussi noter, que les plans de surface peuvent également être construit de façon algorithmique, avec des plans D-optimaux. Cette option est intéressante si l’on souhaite réduire le nombre d’expériences ou bien si le domaine d’expérimentation présente des zones d’exclusion (combinaisons de facteurs impossibles).

Répartition des essais dans un plan avec une contrainte sur la combinaison des facteurs température et pression.

Le cas des mélanges se rapproche de la problématique des plans de surface, dans la mesure où l’on est souvent dans un contexte d’optimisation d’un système non linéaire. La particularité des plans de mélange est de pouvoir prendre en compte les contraintes relationnelles entre les différents constituants du mélange. Ces techniques de plans d’expérience nécessitent d’être informatisées, car les matrices d’expériences ne sont pas orthogonales, de plus la définition des expériences nécessite d’établir au préalable le domaine d’expérimentation, qui dépend fortement des contraintes appliquées à chaque constituant (limitation du domaine expérimental).

Exemple d’application

Conception d’un plan complet

La conception d’un plan d’expériences, commence toujours par un travail d’identification des facteurs supposés influents. Ensuite, l’expérimentateur détermine le nombre de niveaux pour chacun d’entre eux, ainsi que leurs modalités.

Lors de la conception d’un plan d’expériences, il est aussi important de déterminer les interactions à quantifier, mais dans le cas particulier des plans factoriels complets, cette étape n’est pas indispensable car toutes les interactions peuvent être quantifiées.

Dans l’exemple ci-dessous, on étudie 4 facteurs à deux niveaux sur un tour à commande numérique. Les 4 facteurs sont des paramètres de coupe, qui sont supposés avoir une influence sur la durée de vie de l’outil (réponse du système).

Les facteurs sont notés :

• VI: Vitesse d’avance

• PP: Profondeur de passe

• VC: Vitesse de coupe

• DL: Débit de liquide de coupe

Le modèles implicite est donc (où M est la moyenne du modèle) :

\[y=M+VI+PP+VC+DL +VI*PP+VI*VC+VI*DL+PP*VC+PP*DL+VC*DL\]

Conception d’un plan factoriel complet avec SOSstat

Une fois le modèle défini (liste des facteurs avec leurs modalités et liste des interactions), SOSstat peut créer la matrice d’expériences. Dans cet exemple, il s’agit d’un plan factoriel complet. La matrice d’expériences affichée dans la grille, décrits l’enchaînement de combinaison des facteurs. Elle comporte les informations suivantes:

• Numéro de l’expérience

• Numéro aléatoire de l’expérience, si l’on souhaite aléariser ou randomiser les expériences

• Numéro de réplication de chaque expérience. Les réplications permettent d’améliorer la précision du modèle

• La matrice d’expériences, sur les quatre colonnes qui suivent

• La colonne de la réponse (il est possible de traiter plusieurs réponses), ou l’expérimentateur pourra saisir les résultats de chaque expérience

Conception de la matrice d’expériences

Analyse du modèle

Le modèle se compose d’une constante, d’effets et d’interactions.

Tableau des effets

	Niv.1	Niv.2
Vitesse avance	-2.075	2.075
Profondeur	-3.425	3.425
Vitesse de coupe	6.2875	-6.2875
Debit	-0.1	0.1

On remarque que pour les facteurs à deux niveaux les effets sont opposés ( \(\sum \text{Effets}=0\) )..

Tableaux des interactions

Le tableau ci-dessous ne présente qu’une partie des interactions.

	Profondeur		Profondeur		Débit
	Niv1	Niv2	Niv1	Niv2	Niv1	Niv2
Vitesse avance (Niv1)	0.6	-0.6	1.1125	-1.1125	0.35	-0.35
Vitesse avance (Niv2)	-0.6	0.6	-1.1125	1.1125	-0.35	0.35

Pour les facteurs à deux niveaux, on observe une symétrie sur la valeur des interactions ( \(\sum \text{Interactions}=0\) ).

Analyse de la variance des coefficients

L’analyse de la variance est une étape importante de l’exploitation d’un plan d’expériences, car elle permet d’identifier les termes significatifs du modèle. Seuls les paramètres ayant une p-Value inférieure à 5 pourcent sont gardés dans notre cas. (Cette analyse peut également se faire avec un tableau du test T).

Source	ddl	S.Carrés	Variance	p-value
Vitesse avance	1	68.89	68.89	0.002232439	*
Profondeur	1	187.69	187.69	0.000219593	***
Vitesse de coupe	1	632.523	632.523	1.14195e-05	***
Débit	1	0.16	0.16	0.792806
Vitesse avance:Profondeur	1	5.76	5.76	0.1573
Vitesse avance:Vitesse de coupe	1	19.8025	19.8025	0.02738993	*
Vitesse avance:Debit	1	1.96	1.9	0.3766902
Profondeur:Vitesse de coupe	1	40.3225	40.3225	0.007030376	**
Profondeur:Debit	1	1.69	1.69	0.4091185
Vitesse de coupe:Debit	1	6.5025	6.5025	0.1375826
Résidu	5	10.42	2.084

Après exploitation de l’ANAVAR, le modèle qui initialement comportait 4 facteurs et 6 interactions, ne comporte plus que 3 facteurs et 2 interactions.; Ce modèle peut être utilisé directement pour optimiser le système (outil de prédiction de SOSstat)

\[y=M+VI+PP+VC \quad + \quad VI*VC+PP*VC\]

Représentations graphiques

Généralement les coefficients du modèle sont représentés graphiquement pour faciliter leur interprétation. Le graphe des effets représente l’évolution de la réponse moyenne en fonction des fluctuations individuelles de chaque facteur. Le graphe des interactions représente l’évolution des moyennes lorsque deux facteurs évoluent conjointement.

Sur le graphe des effets, on voit clairement l’influence prépondérante du facteur Vitesse de coupe.

Seul un graphe des interactions a été représenté. Il s’agit de l’interaction Profondeur:Vitesse de coupe (la plus significative). La présence de l’interaction se voit clairement, car les deux segments ne sont pas parallèles.

D’autre graphiques sont généralement proposés pour effectuer l’analyse des résidus

Optimisation des résultats

Fonctions de désirabilité

Il est assez courant qu’un plan d’expériences donne lieu à l’analyse de plusieurs réponses. Dans ce cas, nous avons à notre disposition autant de modèles que de réponses. Dans le cas de deux réponses, on a par exemple deux modèles \(y_1=f(x_1,x_2, ... , x_k)\) et \(y_2=f(x_1,x_2, ... , x_k)\) , qui mettent en jeu les mêmes facteurs. Comment optimiser ces deux réponses simultanément, sachant que les modèles sont différents, et que les objectifs pour \(y_1\) et \(y_2\) le sont certainement aussi ?

Pour réaliser un compromis raisonnable, nous allons décrire nos objectifs en utilisant des fonctions de désirabilité. Ces fonctions définissent l’atteinte de l’objectif par une valeur comprise entre 0 (non optimal) et 1 (optimal). Trois familles de fonctions sont utilisées, selon que l’on souhaite minimiser, maximiser une réponse ou bien viser une valeur particulière. Ces fonctions doivent être maximisées pour atteindre les objectifs. Pour cela, on fait la synthèse des objectifs assignés à chaque réponse, en construisant la fonction de désirabilité composite. En maximisant la fonction de désirabilité composite, on trouve le meilleur compromis.

On maximise la désirabilité composite

Utilisation du ratio Signal/Bruit de Taguchi

Genichi Taguchi, ingénieur japonais, a développé la notion de robustesse en ingénierie dans les années 60. L’objectif est de pouvoir optimiser des systèmes, tout en s’assurant que leurs performances ne seront pas dégradées par des facteurs perturbateurs. Dans cette optique, Taguchi a alors l’idée de créer une variable de synthèse qui permet de rendre compte de l’atteinte des objectifs en termes de performance, et de robustesse vis-à-vis de facteurs perturbateurs. Cette variable est un ratio signal/bruit qui permet, selon les cas de maximiser ou minimiser une réponse, tout en minimisant la variance des réponses.

Bibliographie

DUCLOS, E - Introduction aux plans d’expériences , LULU , 2019 , ISBN13 : 5800133354798

DROESBEKE Jean-Jacques , FINE Jeanne , SAPORTA Gilbert - Plans d’expériences, Applications à l’entreprise , Editions Technip , ISBN : 9782710807339

Goupy, J. - Introduction aux plans d’expériences , Dunod, 2017 , EAN13: 9782100778027

D.R. Cox, Nancy Reid - The Theory of the Design of Experiments , CRC Press, 6 juin 2000 - 336 pages

Douglas C. Montgomery - Design and Analysis of Experiments ,John Wiley & Sons, 2008 - 680 pages