Plan d’expériences

SOSstat

Introduction

Les plans d’expériences (en anglais, design of experiments ou DOE) sont des suites organisées d’expérimentations ou essais, permettant d’acquérir de nouvelles connaissances en s’appuyant uniquement sur des résultats expérimentaux. Ainsi on modélise les relations entre les paramètres d’entrée (variables ou facteurs) du système étudié, et une (ou plusieurs) grandeur(s) de sortie, aussi appelée « réponse ». Le modèle mettant en œuvre une réponse \(y\) et des variables ou facteurs \(x_i\) peut se présenter sous une forme générique :

\[y=f(x_1, x_2,x_3, ... , x_k)\]

Les plans d’expériences sont utilisés dans de très nombreux domaines, ils peuvent par exemple :

  • permettre de hiérarchiser l’influence de paramètres sur un processus industriel,
  • optimiser la performance d’un produit à partir de prototypes,
  • modéliser un phénomène physique complexe d’un matériau,
  • ou encore optimiser les performances d’un mélange chimique …

SOSstat offre des fonctionnalités intuitives et simples pour la conception d’essais et l’analyse des résultats d’un plan d’expériences. Outre une bibliothèque complète de plans d’expériences classiques testés et éprouvés, SOSstat propose une fonction innovante de création de plans sur mesure qui permet d’adapter la conception des plans d’expériences aux contraintes expérimentales, tout en minimisant le nombre d’essais. Une fois les données collectées, SOSstat fournit une analyse simple et précise du modèle (avec de nombreux graphiques), les fonctions de prédiction, permettent ensuite de trouver les configurations qui répondent le mieux à notre problème.

Avant toute chose, il est important de noter, que la modélisation d’un système ne peut se faire en réalisant des essais sans stratégie préalable. En effet, l’organisation des essais a une influence déterminante sur la qualité du modèle, et donc des optimisations qui en découlent. Cette propriété n’étant pas intuitive, il est important de suivre la méthodologie des plans d’expérience pour garantir la qualité des résultats.

Voici quelques avantages de la méthodologie des plans d’expériences :

  • Définir le nombre d’expériences nécessaires à l’avance (aide à la planification)
  • Proposer une méthode d’analyse simple et systématique
  • Construire un modèle permettant de prédire les réponses dans tout le domaine d’expérimentation
  • Maximiser la précision des résultats (pour un nombre d’expériences donné)
  • Réduire le nombre d’essais (sous certaines conditions)

Des plans d’expériences adaptés à chaque problématique

Il existe une grande diversité de plans d’expériences. Tous n’ont pas les mêmes propriétés, ni les mêmes objectifs. Nous tenterons dans cette section, de faire un tour d’horizon des principales techniques expérimentales.

Les plans Factoriels sont les plans les plus anciens. Il permettent à la fois d’exploiter des variables continues ou catégorielles. Les modèles étudiés sont des modèles linéaires avec ou sans interaction. Les plans factoriels peuvent être utilisés dans deux situations:

  • Faire du criblage, c’est-à-dire hiérarchiser l’influence d’un grand nombre des facteurs
  • Modéliser un système afin de l’optimiser

Pour répondre à ces objectifs, on pourra exploiter plusieurs techniques :

  • Les plans factoriels complets (qui exploitent toutes les combinaisons de facteurs du plan d’expériences)
  • Les plans de criblage de Plackett et Burman. Ces derniers traitent de préférence des facteurs à deux niveaux, ils ne quantifient pas les interactions. Les plans de Plackett-Burman sont fractionnaires. Le nombre d’expériences à la particularité d’augmenter assez lentement en fonction du nombre de facteurs, puisque c’est un multiple de 4.
  • Les plans factoriels fractionnaires, qui peuvent selon les cas, faire du criblage ou de la modélisation. Ces plans sont généralement appréciés des expérimentateurs, car ils limitent drastiquement le nombre d’essais.

Lorsque les variables d’entrée sont continues et que le modèle comporte un optimum local, il est préférable d’opter pour un modèle du second degré. C’est dans ce contexte que les plans de surface développent toute leur puissance. Ils permettent en effet d’optimiser un système en modélisant sa surface de réponse complexe. Les plans de surface les plus connus sont :

  • les plans composites centrés, sont appréciés pour leur mise en œuvre séquentielle et leur aptitude à répondre à plusieurs critères d’optimalité (isovariance par rotation et presque-orthogonalité).
  • les plans de Box-Behnken, fournissent un modèle de qualité raisonnable et économique, tout en limitant le nombre de modalité des facteurs à 3.
  • il faut aussi noter, que les plans de surface peuvent également être construit de façon algorithmique, avec des plans D-optimaux. Cette option est intéressante si l’on souhaite réduire le nombre d’expériences ou bien si le domaine d’expérimentation présente des zones d’exclusion (combinaisons de facteurs impossibles).
Exemple de répartition des essais dans un plan avec D-optimal avec des contraintes - SOSstat

Répartition des essais dans un plan avec une contrainte sur la combinaison des facteurs température et pression.

Le cas des mélanges se rapproche de la problématique des plans de surface, dans la mesure où l’on est souvent dans un contexte d’optimisation d’un système non linéaire. La particularité des plans de mélange est de pouvoir prendre en compte les contraintes relationnelles entre les différents constituants du mélange. Ces techniques de plans d’expérience nécessitent d’être informatisées, car les matrices d’expériences ne sont pas orthogonales, de plus la définition des expériences nécessite d’établir au préalable le domaine d’expérimentation, qui dépend fortement des contraintes appliquées à chaque constituant (limitation de la plage des proportions testées).

Exemple d’application

Conception d’un plan complet

La conception d’un plan d’expériences, commence toujours par un travail d’identification des facteurs supposés influents. Ensuite, l’expérimentateur détermine le nombre de niveaux pour chacun d’entre eux, ainsi que leurs modalités.

Lors de la conception d’un plan d’expériences, il est aussi important de déterminer les interactions à quantifier, mais dans le cas particulier des plans factoriels complets, cette étape n’est pas indispensable car toutes les interactions peuvent être quantifiées.

Dans l’exemple ci-dessous, on étudie 4 facteurs à deux niveaux sur un tour à commande numérique. Les 4 facteurs sont des paramètres de coupe, qui sont supposés avoir une influence sur la durée de vie de l’outil (réponse du système).

Les facteurs sont notés :

  • VI: Vitesse d’avance
  • PP: Profondeur de passe
  • VC: Vitesse de coupe
  • DL: Débit de liquide de coupe

Le modèles implicite est donc (où M est la moyenne du modèle) :

\[y=M+VI+PP+VC+DL +VI*PP+VI*VC+VI*DL+PP*VC+PP*DL+VC*DL\]
Conception d'un plan complet avec SOSstat

Conception d’un plan factoriel complet avec SOSstat

Une fois le modèle défini (liste des facteurs avec leurs modalités et liste des interactions), SOSstat peut créer la matrice d’expériences. Dans cet exemple, il s’agit d’un plan factoriel complet. La matrice d’expériences affichée dans la grille, décrits l’enchaînement de combinaison des facteurs. Elle comporte les informations suivantes:

  • Numéro de l’expérience
  • Numéro aléatoire de l’expérience, si l’on souhaite aléariser ou randomiser les expériences
  • Numéro de réplication de chaque expérience. Les réplications permettent d’améliorer la précision du modèle
  • La matrice d’expériences, sur les quatre colonnes qui suivent
  • La colonne de la réponse (il est possible de traiter plusieurs réponses), ou l’expérimentateur pourra saisir les résultats de chaque expérience
Matrice d'expériences avec SOSstat

Conception de la matrice d’expériences

Analyse du modèle

On remarque que pour les facteurs à deux niveaux les effets sont opposés ( \(\sum \text{Effets}=0\) )..

Tableau des effets

  Niv.1 Niv.2
Vitesse avance -2.075 2.075
Profondeur -3.425 3.425
Vitesse de coupe 6.2875 -6.2875
Debit -0.1 0.1

Tableaux des interactions

Pour les facteurs à deux niveaux, on observe une symétrie sur la valeur des interactions ( \(\sum \text{Interactions}=0\) ).

Vitesse avance : Profondeur

Profondeur Niv1 Niv2
Vitesse avance (Niv1) 0.6 -0.6
Vitesse avance (Niv2) -0.6 0.6

Vitesse avance : Vitesse de coupe

Vitesse de coupe Niv1 Niv2
Vitesse avance (Niv1) 1.1125 -1.1125
Vitesse avance (Niv2) -1.1125 1.1125

Vitesse avance : Debit

Debit Niv1 Niv2
Vitesse avance (Niv1) 0.35 -0.35
Vitesse avance (Niv2) -0.35 0.35

Profondeur : Vitesse de coupe

Vitesse de coupe Niv1 Niv2
Profondeur (Niv1) -1.5875 1.5875
Profondeur (Niv2) 1.5875 -1.5875

Profondeur : Debit

Debit Niv1 Niv2
Profondeur (Niv1) 0.325 -0.325
Profondeur (Niv2) -0.325 0.325

Vitesse de coupe : Debit

Debit Niv1 Niv2
Vitesse de coupe (Niv1) -0.6375 0.6375
Vitesse de coupe (Niv2) 0.6375 -0.6375

Analyse de la variance des coefficients

L’analyse de la variance est une étape importante de l’analyse car elle permet de définir quels paramètres du modèle garder. Seuls les paramètres ayant une p-Value inférieure à 5% sont gardés dans notre cas. (Cette analyse peut également se faire avec un tableau du test T).

Source ddl S.Carrés Variance p-value  
Vitesse avance 1 68.89 68.89 0.002232439 *
Profondeur 1 187.69 187.69 0.000219593 ***
Vitesse de coupe 1 632.523 632.523 1.14195e-05 ***
Débit 1 0.16 0.16 0.792806  
Vitesse avance:Profondeur 1 5.76 5.76 0.1573  
Vitesse avance:Vitesse de coupe 1 19.8025 19.8025 0.02738993 *
Vitesse avance:Debit 1 1.96 1.9 0.3766902  
Profondeur:Vitesse de coupe 1 40.3225 40.3225 0.007030376 **
Profondeur:Debit 1 1.69 1.69 0.4091185  
Vitesse de coupe:Debit 1 6.5025 6.5025 0.1375826  
Résidu 5 10.42 2.084  

Après exploitation de l’ANAVAR, le modèle qui initialement comportait 4 facteurs et 6 interactions, ne comporte plus que 3 facteurs et 2 interactions.; Ce modèle peut être utilisé directement pour optimiser le système (outil de prédiction de SOSstat)

\[y=M+VI+PP+VC \quad + \quad VI*VC+PP*VC\]

Représentations graphiques

Généralement les coefficients du modèle sont représentés graphiquement pour faciliter leur interprétation. Le graphe des effets représente l’évolution de la réponse moyenne en fonction des fluctuations individuelles de chaque facteur. Le graphe des interactions représente l’évolution des moyennes lorsque deux facteurs évoluent conjointement.

Sur le graphe des effets, on voit clairement l’influence prépondérante du facteur Vitesse de coupe.

Graphe des effets avec SOSstat

Seul un graphe des interactions a été représenté. Il s’agit de l’interaction Profondeur:Vitesse de coupe (la plus significative). La présence de l’interaction se voit clairement, car les deux segments ne sont pas parallèles.

Graphe des interactions avec SOSstat

D’autre graphiques sont généralement proposés pour effectuer l’analyse des résidus

Optimisation des résultats

Fonctions de désirabilité

Il est assez courant qu’un plan d’expériences donne lieu à l’analyse de plusieurs réponses. Dans ce cas, nous avons à notre disposition autant de modèles que de réponses. Dans le cas de deux facteurs, on a par exemple deux modèles \(y_1=f(x_1,x_2, ... , x_k)\) et \(y_2=f(x_1,x_2, ... , x_k)\) , qui mettent en jeu les mêmes facteurs. Comment optimiser ces deux réponses simultanément, sachant que les modèles sont différents, et que les objectifs pour \(y_1\) et \(y_2\) le sont certainement aussi ?

Pour réaliser un compromis raisonnable, nous allons décrire nos objectifs en utilisant des fonctions de désirabilité. Ces fonctions définissent l’atteinte de l’objectif par une valeur comprise entre 0 (non optimal) et 1 (optimal). Trois familles de fonctions sont utilisées, selon que l’on souhaite minimiser, maximiser une réponse ou bien viser une valeur particulière. Ces fonctions doivent être maximisées pour atteindre les objectifs. Pour cela, on fait la synthèse des objectifs assignés à chaque réponse, en construisant la fonction de désirabilité composite. En maximisant la fonction de désirabilité composite, on trouve le meilleur compromis.

Optimisation d'une fonction de désirabilité avec SOSstat

On maximise la désirabilité composite

Utilisation du ratio Signal/Bruit de Taguchi

Genichi Taguchi, ingénieur japonais, a développé la notion de robustesse en ingénierie dans les années 60. L’objectif est de pouvoir optimiser des systèmes, tout en s’assurant que leurs performances ne seront pas dégradées par des facteurs perturbateurs. Dans cette optique, Taguchi a alors l’idée de créer une variable de synthèse qui permet de rendre compte de l’atteinte des objectifs en terme de performance, et de robustesse vis-à-vis de facteurs perturbateurs. Cette variable est un ratio signal/bruit qui permet, selon les cas de maximiser ou minimiser une réponse, tout en minimisant la variance des réponse.